归并排序介绍
将两个的有序数列合并成一个有序数列，我们称之为"归并"。
归并排序(Merge Sort)就是利用归并思想对数列进行排序。根据具体的实现，归并排序包括"从上往下"和"从下往上"2种方式。1. 从下往上的归并排序：将待排序的数列分成若干个长度为1的子数列，然后将这些数列两两合并；得到若干个长度为2的有序数列，再将这些数列两两合并；得到若干个长度为4的有序数列，再将它们两两合并；直接合并成一个数列为止。这样就得到了我们想要的排序结果。(参考下面的图片)
2. 从上往下的归并排序：它与"从下往上"在排序上是反方向的。它基本包括3步：
① 分解 -- 将当前区间一分为二，即求分裂点 mid = (low + high)/2; ② 求解 -- 递归地对两个子区间a[low...mid] 和 a[mid+1...high]进行归并排序。递归的终结条件是子区间长度为1。③ 合并 -- 将已排序的两个子区间a[low...mid]和 a[mid+1...high]归并为一个有序的区间a[low...high]。
下面的图片很清晰的反映了"从下往上"和"从上往下"的归并排序的区别。
归并排序图文说明
归并排序(从上往下)代码
/* * 将一个数组中的两个相邻有序区间合并成一个 * * 参数说明： * a -- 包含两个有序区间的数组 * start -- 第1个有序区间的起始地址。 * mid -- 第1个有序区间的结束地址。也是第2个有序区间的起始地址。 * end -- 第2个有序区间的结束地址。 */ void merge(int a[], int start, int mid, int end){ int *tmp = (int *)malloc((end-start+1)*sizeof(int)); // tmp是汇总2个有序区的临时区域 int i = start; // 第1个有序区的索引 int j = mid + 1; // 第2个有序区的索引 int k = 0; // 临时区域的索引 while(i <= mid && j <= end) { if (a[i] <= a[j]) tmp[k++] = a[i++]; else tmp[k++] = a[j++]; } while(i <= mid) tmp[k++] = a[i++]; while(j <= end) tmp[k++] = a[j++]; // 将排序后的元素，全部都整合到数组a中。 for (i = 0; i < k; i++) a[start + i] = tmp[i]; free(tmp);} /* * 归并排序(从上往下) * * 参数说明： * a -- 待排序的数组 * start -- 数组的起始地址 * endi -- 数组的结束地址 */ void merge_sort_up2down(int a[], int start, int end){ if(a==NULL || start >= end) return ; int mid = (end + start)/2; merge_sort_up2down(a, start, mid); // 递归排序a[start...mid] merge_sort_up2down(a, mid+1, end); // 递归排序a[mid+1...end] // a[start...mid] 和 a[mid...end]是两个有序空间， // 将它们排序成一个有序空间a[start...end] merge(a, start, mid, end);} 从上往下的归并排序采用了递归的方式实现。它的原理非常简单，如下图：
通过"从上往下的归并排序"来对数组{80,30,60,40,20,10,50,70}进行排序时：
1. 将数组{80,30,60,40,20,10,50,70}看作由两个有序的子数组{80,30,60,40}和{20,10,50,70}组成。对两个有序子树组进行排序即可。2. 将子数组{80,30,60,40}看作由两个有序的子数组{80,30}和{60,40}组成。 将子数组{20,10,50,70}看作由两个有序的子数组{20,10}和{50,70}组成。3. 将子数组{80,30}看作由两个有序的子数组{80}和{30}组成。 将子数组{60,40}看作由两个有序的子数组{60}和{40}组成。 将子数组{20,10}看作由两个有序的子数组{20}和{10}组成。 将子数组{50,70}看作由两个有序的子数组{50}和{70}组成。
归并排序(从下往上)代码
/* * 对数组a做若干次合并：数组a的总长度为len，将它分为若干个长度为gap的子数组； * 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。 * * 参数说明： * a -- 待排序的数组 * len -- 数组的长度 * gap -- 子数组的长度 */ void merge_groups(int a[], int len, int gap){ int i; int twolen = 2 * gap; // 两个相邻的子数组的长度 // 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。 for(i = 0; i+2*gap-1 < len; i+=(2*gap)) { merge(a, i, i+gap-1, i+2*gap-1); } // 若 i+gap-1 < len-1，则剩余一个子数组没有配对。 // 将该子数组合并到已排序的数组中。 if ( i+gap-1 < len-1) { merge(a, i, i + gap - 1, len - 1); }} /* * 归并排序(从下往上) * * 参数说明： * a -- 待排序的数组 * len -- 数组的长度 */ void merge_sort_down2up(int a[], int len){ int n; if (a==NULL || len<=0) return ; for(n = 1; n < len; n*=2) merge_groups(a, len, n);} 从下往上的归并排序的思想正好与"从下往上的归并排序"相反。如下图：
通过"从下往上的归并排序"来对数组{80,30,60,40,20,10,50,70}进行排序时：
1. 将数组{80,30,60,40,20,10,50,70}看作由8个有序的子数组{80},{30},{60},{40},{20},{10},{50}和{70}组成。2. 将这8个有序的子数列两两合并。得到4个有序的子树列{30,80},{40,60},{10,20}和{50,70}。3. 将这4个有序的子数列两两合并。得到2个有序的子树列{30,40,60,80}和{10,20,50,70}。4. 将这2个有序的子数列两两合并。得到1个有序的子树列{10,20,30,40,50,60,70,80}。
归并排序的时间复杂度和稳定性
归并排序时间复杂度
归并排序的时间复杂度是O(N*lgN)。假设被排序的数列中有N个数。遍历一趟的时间复杂度是O(N)，需要遍历多少次呢？归并排序的形式就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的可以得出它的时间复杂度是O(N*lgN)。归并排序稳定性
归并排序是稳定的算法，它满足稳定算法的定义。算法稳定性 -- 假设在数列中存在a[i]=a[j]，若在排序之前，a[i]在a[j]前面；并且排序之后，a[i]仍然在a[j]前面。则这个排序算法是稳定的！
归并排序实现
public static void Merge(int num[] ,int begin,int mid,int end){ int temp[] = new int[end-begin+1]; int i = begin; int j = mid+1; int k =0 ; while(i<=mid&&j<=end){ if(num[i]